已知 $\triangle A B C$ 是等边三角形, $E, F$ 分别是 $A B$ 和 $A C$ 的中点, $P$ 是 $\triangle A B C$ 边上一动点, 则 满足 $\overrightarrow{P E} \cdot \overrightarrow{P F}=\overrightarrow{B E} \cdot \overrightarrow{C F}$ 的点 $P$ 的个数为
【答案】 4

【解析】 解: 以 $B C$ 的中点 $O$ 为坐标原点, $B C$ 所在直线为 $x$ 轴, $O A$ 所在直线为 $y$ 轴, 建立如图所示 的平面直角坐标系.
设 $\triangle A B C$ 的边长为 4 , 则 $B(-2,0), C(2,0), A(0,2 \sqrt{3}), E(-1, \sqrt{3}), F(1, \sqrt{3}), \overrightarrow{B E}=(1, \sqrt{3})$, $\overrightarrow{C F}=(-1, \sqrt{3})$,
设 $P(x, y)$, 则 $\overrightarrow{P E}=(-1-x, \sqrt{3}-y), \overrightarrow{P F}=(1-x, \sqrt{3}-y)$,
由 $\overrightarrow{P E} \cdot \overrightarrow{P F}=\overrightarrow{B E} \cdot \overrightarrow{C F}$ 得 $(-1-x, \sqrt{3}-y) \cdot(1-x, \sqrt{3}-y)=(1, \sqrt{3}) \cdot(-1, \sqrt{3})$,
所以 $x^2+(y-\sqrt{3})^2=3$, 即点 $P$ 的轨迹是以 $(0, \sqrt{3})$ 为圆心, $\sqrt{3}$ 为半径的圆, 也就是以 $A O$
$4 / 6$
为直径的圆, 易知该圆与 $\triangle A B C$ 的三边有 4 个公共点.

故为4
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