在平面直角坐标系 $x O y$ 中, $r > 0, \odot M:(x-r)^2+y^2=\frac{3 r^2}{4}$ 与抛物线 $C: y^2=4 x$
有且仅有两个公共点, 直线 $l$ 过圆心 $M$ 且交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点, 则 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=$
【答案】 0

【解析】 因 $\odot M$ 与拋物线 $C$ 有且仅有两个公共点, 而 $\odot M$ 与抛物线 $C$ 都关于 $x$ 轴对称, 因此, 两个公共点的横坐标相同, 并且唯一,
由 $\left\{\begin{array}{c}(x-r)^2+y^2=\frac{3 r^2}{4} \\ y^2=4 x\end{array}\right.$ 消去 $y$ 并整理得: $x^2-2(r-2) x+\frac{r^2}{4}=0$, 且 $x \geq 0$,
即点 $M(4,0)$, 显然直线 $l$ 不垂直于 $y$ 轴, 设直线 $l$ 的方程为 $x=t y+4$,
由 $\left\{\begin{array}{c}x=t y+4 \\ y^2=4 x\end{array}\right.$ 消去 $x$ 并整理得: $y^2-4 t y-16=0$, 设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 则 $y_1+y_2=$
$4 t, y_1 y_2=-16$,
所以 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=x_1 x_2+y_1 y_2=\frac{y_1^2}{4} \cdot \frac{y_2^2}{4}+y_1 y_2=\frac{(-16)^2}{16}+(-16)=0$.
故答案为: 0
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