已知 $\triangle A B C$ 中, $A B=3, A C=5, B C=7, O$ 为 $\triangle A B C$ 外接圆的圆心, $I$ 为 $\triangle A B C$ 内切 圆的圆心,则下列叙述正确的是
$ \text{A.} $ $\triangle A B C$ 外接圆半径为 $\frac{14 \sqrt{3}}{3}$ $ \text{B.} $ $\triangle A B C$ 内切圆半径为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $ \text{C.} $ $\overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{B C}=8$ $ \text{D.} $ $\overrightarrow{A I} \cdot \overrightarrow{B C}=1$
【答案】 BCD

【解析】 在 $\triangle A B C$ 中, $\cos A=\frac{3^2+5^2-7^2}{2 \times 3 \times 5}=-\frac{1}{2}$, 所以 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
设 $\triangle A B C$ 外接圆半径为 $R$, 则 $2 R=\frac{B C}{\sin A}=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14 \sqrt{3}}{3}$, 则 $R=\frac{7 \sqrt{3}}{3}$, 故 $\mathrm{A}$ 错误; 设 $\triangle A B C$ 内切圆半径为 $r$, 则 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2}(3+5+7) r=\frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$, 解得 $r=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 故 B 正确;
因为 $\cos \angle B A O=\frac{\frac{1}{2} A B}{O A}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{7 \sqrt{3}}{3}}=\frac{3 \sqrt{3}}{14}, \cos \angle C A O=\frac{\frac{1}{2} A C}{O A}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{7 \sqrt{3}}{3}}=\frac{5 \sqrt{3}}{14}$,
所以 $\overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A O} \cdot(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=\overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{A B}$ $=\frac{7 \sqrt{3}}{3} \times 5 \times \frac{5 \sqrt{3}}{14}-\frac{7 \sqrt{3}}{3} \times 3 \times \frac{3 \sqrt{3}}{14}=8$, 故 C 正确;
设内切圆与三角形分别切于 $D, E, F$, 则设 $A E=E F=x, C E=C D=y, B D=B F=z$, $\left\{\begin{array}{l}x+y=5 \\ x+z=3 \\ y+z=7\end{array}\right.$, 解得 $x=\frac{1}{2}, y=\frac{9}{2}, z=\frac{5}{2}$, 所以 $A I=\sqrt{A F^2+r^2}=1$,
则 $\cos \angle B A I=\frac{1}{2}$, $\cos \angle C A I=\frac{1}{2}$,
所以 $\overrightarrow{A I} \cdot \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A I} \cdot(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=\overrightarrow{A I} \cdot \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A I} \cdot \overrightarrow{A B}=1 \times 5 \times \frac{1}{2}-1 \times 3 \times \frac{1}{2}=1$, 故 D 正 确.
故选: BCD.
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