题号:3922    题型:解答题    来源:2022年西藏中考数学真题答案 入库日期 2023/1/7 14:18:39
在平面直角坐标系中, 抛物线 $y=-\frac{1}{2} x^2+(m-1) x+2 m$ 与 $x$ 轴交于 $A, B(4,0)$ 两点, 与 $y$ 轴交于点 $C$, 点 $P$ 是抛物线 在第一象限内的一个动点.
(1) 求抛物线的解析式, 并直接写出点 $\mathrm{A}, \mathrm{C}$ 的坐标;
(2) 如图甲, 点 $\mathrm{M}$ 是直线 $\mathrm{BC}$ 上的一个动点, 连接 $\mathrm{AM}, \mathrm{OM}$, 是否存在点 $\mathrm{M}$ 使 $\mathrm{AM}+\mathrm{OM}$ 最小, 若存在, 请求出点 $\mathrm{M}$ 的坐标, 若 不存在, 请说明理由;
(3) 如图乙, 过点 $P$ 作 $P F \perp B C$, 垂足为 $F$, 过点 $C$ 作 $C D \perp B C$, 交 $\mathrm{x}$ 轴于点 $\mathrm{D}$, 连接 $\mathrm{DP}$ 交 $\mathrm{BC}$ 于点 $\mathrm{E}$, 连接 $C P$. 设 $\triangle \mathrm{PEF}$ 的面积为 $S_1, \triangle P E C$ 的面积为 $S_2$, 是否存在点 $P$, 使得 $\frac{S_1}{S_2}$ 最大, 若存在, 请求出点 $P$ 的坐标, 若不存在, 请说明理由.
【答案】 【答案】解:(1) 将 $\mathrm{B}(4,0)$ 代入 $\mathrm{y}=-\frac{1}{2} \mathrm{x}^2+(\mathrm{m}-1) \mathrm{x}+2 \mathrm{~m}$,
$$
\therefore-8+4(m-1)+2 m=0,
$$
解得 $\mathrm{m}=2$,
$$
\therefore \mathrm{y}=-\frac{1}{2} \mathrm{x}^2+\mathrm{x}+4 \text {, }
$$
令 $x=0$, 则 $y=4$,
$$
\therefore \mathrm{C}(0,4) \text {, }
$$
令 $y=0$, 则 $-\frac{1}{2} x^2+x+4=0$,
解得 $x=4$ 或 $x=-2$,
$$
\therefore \mathrm{A}(-2,0) \text {; }
$$

(2) 存在点 $M$ 使 $A M+O M$ 最小, 理由如下:
作 $\mathrm{O}$ 点关于 $\mathrm{BC}$ 的对称点 $\mathrm{O}^{\prime}$, 连接 $\mathrm{AO}^{\prime}$ 交 $\mathrm{BC}$ 于点 $\mathrm{M}$, 连接 $\mathrm{BO}^{\prime}$, 由对称性可知, $O M=O^{\prime} M$,
$$
\therefore \mathrm{AM}+\mathrm{OM}=\mathrm{AM}+\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{M} \geqslant \mathrm{AO}^{\prime} \text {, }
$$
当 $A 、 M 、 O^{\prime}$ 三点共线时, $A M+O M$ 有最小值,
$$
\because B(4,0), C(0,4) \text {, }
$$
$$
\therefore \mathrm{OB}=\mathrm{OC} \text {, }
$$
$$
\therefore \angle \mathrm{CBO}=45^{\circ} \text {, }
$$
由对称性可知 $\angle \mathrm{O}^{\prime} \mathrm{BM}=45^{\circ}$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore \mathrm{BO}^{\prime} \perp \mathrm{BO}, \\
& \therefore \mathrm{O}^{\prime}(4,4),
\end{aligned}
$$
设直线 $\mathrm{AO} \mathrm{O}^{\prime}$ 的解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{b}$,
$$
\therefore\left\{\begin{array}{l}
-2 k+b=0 \\
4 k+b=4
\end{array}\right. \text {, }
$$

$$
\begin{aligned}
& \text { 解得 }\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{k}=\frac{2}{3} \\
\mathrm{~b}=\frac{4}{3}
\end{array}\right. \\
& \therefore \mathrm{y}=\frac{2}{3} \mathrm{x}+\frac{4}{3},
\end{aligned}
$$
设直线 $\mathrm{BC}$ 的解析式为 $y=k^{\prime} x+4$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore 4 \mathrm{k}^{\prime}+4=0, \\
& \therefore \mathrm{k}^{\prime}=-1, \\
& \therefore \mathrm{y}=-\mathrm{x}+4,
\end{aligned}
$$
联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=-x+4 \\ y=\frac{2}{3} x+\frac{4}{3}\end{array}\right.$,
$$
\begin{aligned}
& \text { 解得 }\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{8}{5} \\
y=\frac{12}{5}
\end{array}\right. \\
& \therefore M\left(\frac{8}{5}, \frac{12}{5}\right) ;
\end{aligned}
$$

(3) 在点 $\mathrm{P}$, 使得 $\frac{S_1}{S_2}$ 最大, 理由如下:
连接 $P B$, 过 $P$ 点作 $P G / / y$ 轴交 $C B$ 于点 $G$,
设 $\mathrm{P}\left(\mathrm{t},-\frac{1}{2} \mathrm{t}^2+\mathrm{t}+4\right)$, 则 $\mathrm{G}(\mathrm{t},-\mathrm{t}+4)$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore \mathrm{PG}=-\frac{1}{2} \mathrm{t}^2+2 \mathrm{t}, \\
& \because \mathrm{OB}=\mathrm{OC}=4, \\
& \therefore \mathrm{BC}=4 \sqrt{2}, \\
& \therefore \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{BCP}}=\frac{1}{2} \times 4 \times\left(-\frac{1}{2} \mathrm{t}^2+2 \mathrm{t}\right)=-\mathrm{t}^2+4 \mathrm{t}=\frac{1}{2} \times 4 \sqrt{2} \times \mathrm{PF}, \\
& \therefore \mathrm{PF}=-\frac{\sqrt{2}}{4} \mathrm{t}^2+\sqrt{2} \mathrm{t}, \\
& \because \mathrm{CD} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{PF} \perp \mathrm{BC}, \\
& \therefore \mathrm{PF} / / \mathrm{CD},
\end{aligned}
$$


$$
\begin{aligned}
& \therefore \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{CE}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{CD}}, \\
& \because \frac{\mathrm{S}_1}{\mathrm{~S}_2}=\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{CE}}, \\
& \therefore \frac{S_1}{S_2}=\frac{P \mathrm{FF}}{\mathrm{CD}},
\end{aligned}
$$
$\because B 、 D$ 两点关于 $y$ 轴对称,
$$
\begin{aligned}
& \therefore \mathrm{CD}=4 \sqrt{2}, \\
& \therefore \frac{\mathrm{S}_1}{\mathrm{~S}_2}=-\frac{1}{16}\left(\mathrm{t}^2-4 \mathrm{t}\right)=-\frac{1}{16}(\mathrm{t}-2)^2+\frac{1}{4},
\end{aligned}
$$
$\because \mathrm{P}$ 点在第一象限内,
$$
\therefore 0 < \mathrm{t} < 4 \text {, }
$$
$\therefore$ 当 $\mathrm{t}=2$ 时, $\frac{\mathrm{S}_1}{\mathrm{~S}_2}$ 有最大值 $\frac{1}{4}$,
此时 $P(2,4)$.




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