题号:3919    题型:解答题    来源:2022年西藏中考数学真题答案 入库日期 2023/1/7 14:11:36
如图, 在矩形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{AB}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$, 点 $\mathrm{F}$ 在 $\mathrm{BC}$ 边的延 长线上, 点 $\mathrm{P}$ 是线段 $\mathrm{BC}$ 上一点 (与点 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 不重合), 连接 $\mathrm{AP}$ 并延长, 过点 $\mathrm{C}$ 作 $\mathrm{CG} \perp \mathrm{AP}$, 垂足为 $\mathrm{E}$.
(1) 若 $\mathrm{CG}$ 为 $\angle \mathrm{DCF}$ 的平分线. 请判断 $\mathrm{BP}$ 与 $\mathrm{CP}$ 的数量关系, 并 证明;
(2) 若 $\mathrm{AB}=3, \triangle \mathrm{ABP} \cong \triangle \mathrm{CEP}$, 求 $\mathrm{BP}$ 的长.
【答案】 解: (1) $\mathrm{BP}=\mathrm{CP}$, 理由如下:
$\because \mathrm{CG}$ 为 $\angle \mathrm{DCF}$ 的平分线,
$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle \mathrm{DCG}=\angle \mathrm{FCG}=45^{\circ}, \\
& \therefore \angle \mathrm{PCE}=45^{\circ}, \\
& \because \mathrm{CG} \perp \mathrm{AP}, \\
& \therefore \angle \mathrm{E}=\angle \mathrm{B}=90^{\circ}, \\
& \therefore \angle \mathrm{CPE}=45^{\circ}=\angle \mathrm{APB}, \\
& \therefore \angle \mathrm{BAP}=\angle \mathrm{APB}=45^{\circ}, \\
& \therefore \mathrm{AB}=\mathrm{BP},
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \because \mathrm{AB}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}, \\
& \therefore \mathrm{BC}=2 \mathrm{AB}, \\
& \therefore \mathrm{BP}=\mathrm{PC} ; \\
& \end{aligned}
$$


(2)
$$
\begin{aligned}
&\because \triangle \mathrm{ABP} \cong \triangle \mathrm{CEP}, \\
& \therefore \mathrm{AP}=\mathrm{CP}, \\
& \because \mathrm{AB}=3, \\
& \because \mathrm{BC}=2 \mathrm{AB}=6, \\
& \because \mathrm{AP}=\mathrm{AB}{ }^2+\mathrm{BP}^2, \\
& \therefore(6-\mathrm{BP})^2=9+\mathrm{BP}^2, \\
& \therefore \mathrm{BP}=\frac{9}{4} .
\end{aligned}
$$


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