已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 且 $\left|F_1 F_2\right|=2$. 过 $F_2$ 的 一条斜率存在且不为零的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点, $\triangle M N F_1$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 设 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P$, 直线 $P N$ 交 $x$ 轴于点 $Q$, 过 $Q$ 作 $C$ 的一条切线, 切点为 $T$. 证明: $\angle T F_2 P=\angle T F_2 N$.
【答案】 (1) 根据题意可知 $\triangle M N F_1$ 的周长为 $\left|M F_1\right|+\left|M F_2\right|+\left|N F_2\right|+\left|N F_1\right|=2 a+2 a=4 a$ 所以 $4 a=4 \sqrt{2}$, 即 $a=\sqrt{2}$
$\cdots \cdots 2$ 分 设 $C$ 的半焦距为 $c$, 因为 $\left|F_1 F_2\right|=2$, 即 $c=1$, 所以 $b^2=a^2-c^2=1$, 即 $b=1$ 所以 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$.
(2) 设 $M N$ 的方程为 $y=k(x-1)$, 代入 $C$ 的方程有: $\left(2 k^2+1\right) x^2-4 k^2 x+2 k^2-2=0$, $\Delta=8 k^2+8 > 0$,
设 $M\left(x_1, y_1\right), N\left(x_2, y_2\right)$, 则 $x_1+x_2=\frac{4 k^2}{2 k^2+1}, x_1 x_2=\frac{2 k^2-2}{2 k^2+1}$,

设 $P\left(x_1,-y_1\right)$, 则直线 $P N$ 的方程可表示为 $y=\frac{y_2+y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right)-y_1$, 令 $y=0, \cdots \cdots 6$ 分 得
$$
x=\frac{x_1 y_2+x_2 y_1}{y_1+y_2}=\frac{k x_1\left(x_2-1\right)+k x_2\left(x_1-1\right)}{k\left(x_1+x_2-2\right)}=\frac{2 x_1 x_2-\left(x_1+x_2\right)}{x_1+x_2-2}=\frac{2 \cdot \frac{2 k^2-2}{2 k^2+1}-\frac{4 k^2}{2 k^2+1}}{\frac{4 k^2}{2 k^2+1}-2}=2
$$
所以 $Q(2,0)$.
设直线 $Q T$ 的方程为 $y=k_1(x-2)$, 代入 $C$ 的方程有: $\left(2 k_1^2+1\right) x^2-8 k_1^2 x+8 k_1^2-2=0(*)$, 当 $Q T$ 与 $C$ 相切时, $\Delta_1=64 k_1^4-8\left(2 k_1^2+1\right)\left(4 k_1^2-1\right)=0$, 得 $k_1^2=\frac{1}{2}$,

将 $k_1^2=\frac{1}{2}$ 代入 (*) 方程: $x^2-2 x+1=0$, 解得 $x=1$, 所以切点 $T$ 的横坐标等于右焦点 $F_2$ 的横坐标, 故 $T F_2 \perp x$ 轴, 又由 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P$, 可知 $\angle Q F_2 P=\angle Q F_2 M=\angle O F_2 N$ 故 $\angle T F_2 P=\angle T F_2 N$.


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