已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a > 0, b > 0)$.
请从下面三个①②③中选取两个作为条件补充到题中, 并完成下列问题.
① $b=\sqrt{3}$; ②离心率为 2; ③与椭圆 $\frac{x^2}{5}+y^2=1$ 的焦点相同.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 直线 $l: y=x-3$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 求 $|A B|$ 的值.
注: 若选择不同的组合分别解答, 则按第一个解答计分.
【答案】 17. 解: (1) 选(1)(2)
可得 $b=\sqrt{3}, \frac{a^2+b^2}{a^2}=4$,
解得 $a=1$, ,
所以 $C$ 的方程为
$$
x^2-\frac{y^2}{3}=1 \text {; }
$$
选(1)(3)
可得 $b=\sqrt{3}, a^2+b^2=5-1=4$,
解得 $a=1$, ,
所以 $C$ 的方程为
$$
x^2-\frac{y^2}{3}=1 \text {; }
$$
选(2)(3)
可得 $\frac{a^2+b^2}{a^2}=4, a^2+b^2=5-1=4$,
解得 $a^2=1, b^2=3$,
所以 $C$ 的方程为
$$
x^2-\frac{y^2}{3}=1 \text {; }
$$
(2) 设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$,
联立 $\left\{\begin{array}{l}x^2-\frac{y^2}{3}=1 \\ y=x-3\end{array}\right.$, 消掉 $y$, 整理得
$$
x^2+3 x-6=0 \text {, }
$$

所以 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2=-3 \\ x_1 x_2=-6\end{array}\right.$,
因为 $|A B|=\sqrt{1+k^2}\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{1+k^2} \sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4 x_1 x_2}$

所以 $|A B|=\sqrt{66}$.


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