已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$.
请从下面三个①②③中选取两个作为条件补充到题中, 并完成下列问题.
① $b=\sqrt{3}$; ②离心率为 2; ③与椭圆 $\frac{x^2}{5}+y^2=1$ 的焦点相同.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 直线 $l: y=x-3$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 求 $|A B|$ 的值.
注: 若选择不同的组合分别解答, 则按第一个解答计分.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$