如图, 海中有两小岛 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$, 某渔船在海中的 $\mathrm{A}$ 处测得小岛 $\mathrm{C}$ 位于东北方向, 小岛 D 位于南偏东 $30^{\circ}$ 方向, 且 A, D 相距 $10 \mathrm{nmile}$. 该渔船自西向东航行一段时间后到 达点 $\mathrm{B}$, 此时测得小岛 $\mathrm{C}$ 位于西北方向且与点 $\mathrm{B}$ 相距 $8 \sqrt{2} \mathrm{n}$ mile. 求 $\mathrm{B}, \mathrm{D}$ 间的距离 (计算过程中的数据不取近似值).
【答案】 23. 解:由题意知 $\angle C A B=\angle C B A=45^{\circ}, \therefore \triangle A B C$ 为等腰直角三角形, $\therefore A B=\sqrt{2} B C=16$ 过 $\mathrm{D}$ 作 $\mathrm{DE} \perp \mathrm{AB}$ 于 $\mathrm{E}$, 则 $\angle \mathrm{ADE}=30^{\circ}, \therefore \mathrm{AE}=\frac{1}{2} \mathrm{AD}=5, \mathrm{BE}=\mathrm{AB}-\mathrm{AE}=16-5=11$, 有勾股定理知 $\mathrm{DE}=\sqrt{\mathrm{AD}^2-\mathrm{AE}^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5 \sqrt{3}, \quad \mathrm{BD}=\sqrt{\mathrm{BE}^2+\mathrm{DE}^2}=\sqrt{11^2+(5 \sqrt{3})^2}=14$ (n mile)
答: B, D 间的距离为 $14 $ nmile.


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