如图, 在平面直角坐标系 $x O \mathrm{y}$ 中, 矩形 $O A B C$ 的顶点 $\mathrm{B}$ 的坐标为 $(10,4)$, 四边形 $\mathrm{ABEF}$ 是菱形, 且 $\tan \angle \mathrm{ABE}=\frac{4}{3}$. 若直线 $l$ 把矩形 $O \mathrm{ABC}$ 和菱形 $\mathrm{ABEF}$ 组成的图形的面积 分成相等的两部分, 则直线 $l$ 的解析式为
$ \text{A.} $ $y=3 x$ $ \text{B.} $ $y=-\frac{3}{4} x+\frac{15}{2}$ $ \text{C.} $ $y=-2 x+11$ $ \text{D.} $ $y=-2 x+12$
【答案】 D

【解析】
解: 连接 $A C$ 与 $O B$ 交于点 $M, \because$ 四边形 $A B C O$ 为矩形, $B$ 点坐标为 $(10,4), \therefore M$ 点坐标为 $(5,2), \mathrm{AB}=10$, 连接 $\mathrm{BF}$ 与 $\mathrm{AE}$ 交于点 $\mathrm{N}, \because$ 四边形 $\mathrm{ABEF}$ 是菱形, $\therefore \mathrm{EF} / /$ $\mathrm{AB}, \angle \mathrm{AFE}=\angle \mathrm{ABE}, \mathrm{AF}=\mathrm{AB}=10, \therefore \tan \angle \mathrm{AFE}=\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{FG}}=\tan \angle \mathrm{ABE}=\frac{4}{3}$, 设 $\mathrm{EF}$ 交 $\mathrm{y}$ 轴于点 $\mathrm{G}$, 设 $\mathrm{AG}=4 \mathrm{a}, \mathrm{FG}=3 \mathrm{a}$, 由勾股定理知 $\mathrm{AF}=5 \mathrm{a}, \therefore \mathrm{a}=2, \mathrm{FG}=3 \mathrm{a}=6, \mathrm{AG}=4 \mathrm{a}=8,0 \mathrm{G}=0 \mathrm{~A}+\mathrm{AG}=12$, $\therefore \mathrm{F}$ 点坐标为 $(-6,12), \therefore \mathrm{N}$ 点坐标为 $\left(\frac{-6+10}{2}, \frac{12+4}{2}\right)$, 即 $(2,8), \because \mathrm{M} 、 \mathrm{~N}$ 分别为矩形 $\mathrm{ABCO}$ 与菱形 $\mathrm{ABEF}$ 对角线交点, $\therefore$ 过点 $\mathrm{M} 、 \mathrm{~N}$ 的直线 $l$ 把矩形 $\mathrm{OABC}$ 和菱形 $\mathrm{ABEF}$ 组成 的图形的面积分成相等的两部分, 设直线 l 的解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{k} x+\mathrm{b}$, 分别代入 $(5,2)$ 与 $(2,8)$ 可解得 $k=-2, b=12$, 即直线 $\angle$ 的解析式为 $y=-2 x+12$, 故选 D.
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