如图，已知二次函数 $y=a x(x-4)(a \neq 0)$ 的图象过点 $A(2,2)$ ，连接 $O A$ 点 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right), R\left(x_3, y_3\right)$是此二次函数图象上的三个动点，且 $0 < x_3 < x_1 < x_2 < 2$ ，过点 $P$ 作 $P B / / y$ 轴交线段 $O A$ 于点 $B$ ．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图 1，点 $C 、 D$ 在线段 $O A$ 上，且直线 $Q C 、 R D$ 都平行于 $y$ 轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答：
① 当 $P B>Q C$ 时，求证：$x_1+x_2>2$ ；
② 当 $P B>R D$ 时，求证：$x_1+x_3 < 2$ ；
（3）如图，若 $\mathrm{x}_2=\frac{3}{2} \mathrm{x}_1, \mathrm{x}_3=\frac{1}{2} \mathrm{x}_1$ ，延长 $P B$ 交 $x$ 轴于点 $T$ ，射线 $Q T 、 T R$ 分别与 $y$ 轴交于点 $Q_1, R_1$ ，连接 $A P$ ，分别在射线 $A T 、 x$ 轴上取点 $M 、 N$（点 $N$ 在点 $T$ 的右侧），且 $\angle A M N=\angle P A O, M N=2 \sqrt{2}$ ．记 $t=R_1 Q_1-O N$ ，试探究：当 $x_1$ 为何值时，$t$ 有最大值？并求出 $t$ 的最大值．