题号:3803    题型:解答题    来源:初中几何经典50题专项训练 入库日期 2022/12/27 8:54:32
在 $\triangle A B C$ 中, $A D \perp B C, P$ 是 $\triangle A B C$ 外接圆 $O$ 上一点, 点 $P$ 关于 $A B 、 A C$ 的对称点为 点 $E 、 F$, 连接 $E F$ 与 $A D$ 交于点 $H$, 求证: $H$ 是 $\triangle A B C$ 的垂心。
【答案】
证明: 作 $P G \perp B C$ 于 $G, A B$ 交 $P E$ 于 $M, A C$ 交 $P F$ 于 $N, P F$ 交 $B C$ 于 $Q$, 则 $M 、 B 、 G 、 P$ 四点共圆, $N 、 C 、 G 、 P$ 四点共圆,
$\angle M B P=\angle A C P, \angle M G B=\angle M P B=\angle N P C=\angle N G C$,
$\therefore M 、 G 、 N$ 三点共线。 $M N / / E F, A 、 D 、 Q 、 N$ 四点共圆,
$\angle D A C=\angle N Q C=\angle N P C+\angle P C Q=\angle N F C+\angle P N G=\angle N F C+\angle H F P=\angle H F C$
$\therefore H 、 A 、 F 、 C$ 四点共圆, $\angle D H C=\angle A F C=\angle A P C=\angle A B C$
$\therefore \angle A B C+\angle B C H=\angle D H C+\angle B C H=90^{\circ}$
$\therefore C H \perp A B, H$ 是 $\triangle A B C$ 的垂心。


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