题号:3802    题型:解答题    来源:初中几何经典50题专项训练 入库日期 2022/12/27 8:53:46
如图, $\triangle A B C \cong \triangle C D E, \angle D=\angle A B C=90^{\circ}$, 点 $B$ 在 $C D$ 上, $A B 、 C E$ 交于 $F$, 过 $B$ 作 $B G \perp A C$ 于 $G$, 交 $C E$ 于 $H$, 连接 $A H$ 并延长, 交 $C D$ 于 $I$, 设 $A B=x, B C=y$ 。 $\left(x > y\right.$ ) 求: (1) $A H$ 的长 (用 $x , y$ 表示);(2) $\frac{B C}{I C}$ 的值。
【答案】 解: (1) 取 $B C$ 中点 $M$, 易得 $\angle C B G=\angle E C D, H B=H C$,
$$
C G=\frac{B C^2}{C A}=\frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}, A G=\frac{A B^2}{A C}=\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}
$$
$$
C M=\frac{y}{2}, \quad H M=\frac{y^2}{2 x}
$$
$$
C H=\sqrt{C M^2+H M^2}=\sqrt{\left(\frac{y}{2}\right)^2+\left(\frac{y^2}{2 x}\right)^2}=\frac{y}{2 x} \sqrt{x^2+y^2}
$$
$$
H G=\sqrt{C H^2-C G^2}=\sqrt{\frac{y^2\left(x^2+y^2\right)}{4 x^2}-\frac{y^4}{x^2+y^2}}=\frac{y\left(x^2-y^2\right)}{2 x \sqrt{x^2+y^2}}
$$
$$
A H=\sqrt{A G^2+H G^2}=\sqrt{\frac{x^4}{x^2+y^2}+\frac{y^2\left(x^2-y^2\right)^2}{4 x^2\left(x^2+y^2\right)}}=\frac{\sqrt{4 x^6+y^2\left(x^2-y^2\right)^2}}{2 x \sqrt{x^2+y^2}}
$$
(2) 作 $F N / / B C$, 交 $A I$ 于点 $N$, 易得 $H$ 是 $F C$ 中点, $\frac{B F}{D E}=\frac{B C}{D C}, B F=\frac{y^2}{x}$
$$
\begin{aligned}
& \triangle F N H \cong \triangle C I H, \frac{F N}{B I}=\frac{A F}{A B}, \frac{I C}{B C-I C}=\frac{A F}{A B} \\
& \therefore \frac{B C}{I C}=\frac{A B+A F}{A F}=\frac{A B}{A B-B F}+1=\frac{x}{x-\frac{y^2}{x}}+1=\frac{2 x^2-y^2}{x^2-y^2}
\end{aligned}
$$


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