题号:3800    题型:解答题    来源:初中几何经典50题专项训练 入库日期 2022/12/27 8:51:54
已知: 直角三角形 $A B C, \angle A$ 为直角, $I$ 为内心, $B D 、 C E$ 分别为两内角平分线。 $\triangle I B C$ 的面积为 $S$ 。求四边形 $B C D E$ 的面积。
【答案】
解:设 $\triangle A B C$ 三边分别为 $a 、 b 、 c$, 其中 $a^2=b^2+c^2$ 。
$$
\begin{aligned}
& \frac{S_{\triangle D I C}}{S_{D B I C}}=\frac{D I}{B I}, \quad \frac{S_{\triangle B I E}}{S_{\triangle B I C}}=\frac{E I}{C I}, \frac{S_{D D I E}}{S_{\triangle B I C}}=\frac{D I \cdot E I}{B I \cdot C I}, \\
& S_{D I C}=\frac{D I}{B I} S, \quad S_{B B I E}=\frac{E I}{C I} S, S_{D D I E}=\frac{D I \cdot E I}{B I \cdot C I} S, \\
& C D=\frac{a b}{a+c}, \quad B E=\frac{a c}{a+b}, \quad \frac{D I}{B I}=\frac{C D}{C B}=\frac{b}{a+c}, \quad \frac{E I}{C I}=\frac{B E}{B C}=\frac{c}{a+b}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& S_{\square D I C}+S_{\sqsupset B I E}+S_{\square D I E}=\left(\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c} \cdot \frac{c}{a+b}\right) S \\
& =\frac{b^2+c^2+a b+a c+b c}{(a+c)(a+b)} S=\frac{a^2+a b+a c+b c}{a^2+a b+a c+b c} S=S
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 四边形 $B C D E$ 的面积为 $2 S$ 。


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