题号:3798    题型:解答题    来源:初中几何经典50题专项训练 入库日期 2022/12/27 8:50:13
如图, $E 、 F$ 分别是圆内接四边形 $A D B C$ 的
对角线 $A B 、 C D$ 的中点, 若
$\angle D E B=\angle C E B$ 。
求证: $\angle A F D=\angle B F D$
【答案】
证明: 延长 $C E$ 交圆 $O$ 于 $G$ 点,
由已知得 $O E \perp A B$,
$\angle D E B=\angle C E B$
$\Leftrightarrow \angle \mathrm{DEO}=\angle G E O$
$\Leftrightarrow \triangle D O E \cong \triangle G O E$
$\Leftrightarrow \angle E D O=\angle E G O=\angle E C O$
$\Leftrightarrow D 、 E 、 O 、 C$ 四点共圆
$\Leftrightarrow \angle D C B=\frac{1}{2} \angle D O B=\frac{1}{2}(\angle B O E-\angle D O E)$
$=\frac{1}{2}(\angle A O E-\angle D O E)=\frac{1}{2}(\angle A O D-2 \angle$
$D O E)=\frac{1}{2}(2 \angle A C D-2 \angle D O E)=\angle A C D-\angle$
$D C E=\angle A C E$
$\Leftrightarrow \angle A C D=\angle B C E \Leftrightarrow \frac{\sin \angle D C B}{\sin \angle A C D}=\frac{\sin \angle A C E}{\sin \angle B C E}$ (易证)
$\Leftrightarrow \frac{B D}{A D}=\frac{B C}{A C} \Leftrightarrow B D \cdot A C=A D \cdot B C$
同理 $B D \cdot A C=A D \cdot B C \Leftrightarrow \angle A F D=\angle B F D$ 。


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