已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p > 0)$ 上一点 $M(3, t)$ 到准线的距离为 4 , 焦点 为 $\mathrm{F}$, 坐标原点为 $O$, 直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点 (与 $O$ 点均不重合).
(1) 求抛物线 $C$ 方程;
(2) 若以 $A B$ 为直径的圆过原点 $O$, 求 $\triangle A B F$ 与 $\triangle B O F$ 的面积之和的最小值.
【答案】 (1) 根据抛物线定义可知 $3+\frac{p}{2}=4$
得 $p=2$
所以抛物线的方程为 $y^2=4 x$.
(2) 设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$
设直线 $l: x=t y+m$,
$$
\text { 代入 } y^2=4 x \text {, }
$$

得 $y^2-4 t y-4 m=0$
$$
\therefore\left\{\begin{array}{l}
\Delta > 0 \\
y_1+y_2=4 t \\
y_1 \cdot y_2=-4 m
\end{array}\right. \text {. }
$$
又由 $A B$ 为直径的圆过原点 $O$, 则 $\overrightarrow{O A} \bullet \overrightarrow{O B}=0$
$$
x_1 x_2+y_1 y_2=0 .
$$
$\frac{y_1^2}{4} \bullet \frac{y_2^2}{4}+y_1 y_2=0$, 由于 $y_1 y_2 \neq 0$, 得 $y_1 y_2=-16$
即 $m=4$
故直线 $l$ 的方程为 $x=t y+4$
所以直线 $l$ 恒过定点 $(4,0)$
不妨设 $y_1 > 0, y_2 < 0$, 则
$$
S_{\triangle A B F}+S_{\triangle B O F}=\frac{1}{2} \times 3 \times\left|y_1-y_2\right|+\frac{1}{2}\left|y_2\right|=\frac{1}{2}\left(3 y_1-4 y_2\right) \geq \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{-12 y_1 y_2}=8 \sqrt{3} .
$$
当且仅当 $3 y_1=-4 y_2$ 时, 等号成立


系统推荐