在平面五边形 $A B C D E$ 中 (如图 1), $A B C D$ 是梯形, $A D / / B C$, $A D=2 B C=2 \sqrt{2}, \quad A B=\sqrt{2}, \quad \angle A B C=90^{\circ}$,
$\triangle A D E$ 是等边三角形. 现将 $\triangle A D E$ 沿 $A D$ 折 起, 连接 $E B, E C$ 得四棱雉 $E-A B C D$ (如 图 2), 且 $E C=2 \sqrt{2}$.
(1) 求证: 平面 $E A D \perp$ 平面 $A B C D$;
(2) 若 $F$ 是棱 $E B$ 的中点, 求 $C F$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值.
【答案】 (1) 取 $A D$ 中点 $O$, 连接 $O C, O E$, 易得 $O E \perp A D, O C \perp A D$.
在 $\triangle C O E$ 中, 由已知 $C E=2 \sqrt{2}, O C=A B=\sqrt{2}, O E=\frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 \sqrt{2}=\sqrt{6}$.
$$
\begin{aligned}
& \because O C^2+O E^2=C E^2 \\
& \therefore O E \perp O C, \\
& \text { 又 } O E \perp A D, \\
& O C \cap A D=O \ldots \ldots \ldots .
\end{aligned}
$$
则 $O E \perp$ 平面 $A B C D$.
又 $O E \subset$ 平面 $A D E$
故平面 $E A D \perp$ 平面 $A B C D$ 得证

(2) 由 $F$ 是棱 $E B$ 的中点, 令 $\mathrm{OB}$ 的中点为 $\mathrm{K}$, 连接 $\mathrm{FK}$.
则 $F K / / E O, F K \perp$ 平面 $A B C D$

连接 $\mathrm{CK}$,则 $\angle F C K$ 为 $C F$ 与平面 $A B C D$ 所成的角
由题意, 在 $\triangle C F K$ 中 $\mathrm{FK}=\frac{\sqrt{6}}{2}, \mathrm{CK}=1$,

故 $C F$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$.


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