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已知三棱锥 $P-A B C$ 的各顶点都在同一球面上, 且 $P C \perp$ 平面 $A B C$, 若该棱雉的体积为 2 , $A B=2, B C=\sqrt{3}, \angle A B C=30^{\circ}$, 则此球的表面积等于
【答案】 $52 \pi $

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解答题 来源:2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每天从该生 产线上随机抽取 16 个零件, 并测量其尺寸（单位; $\mathrm{cm}$ ). 根据长期生产经验 , 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right.$ ). （1）假设生产状态正常, 记 $X$ 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在（ $\mu-3 \sigma$ $, \mu+3 \sigma)$ 之外的零件数, 求 $P(x \geqslant 1)$ 及 $X$ 的数学期望; (2) 一天内抽检零件中, 如果出现了尺寸在 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 之外的零件, 就 认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况, 需对当天的生产 过程进行检查. ( i ) 试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ii) 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸: [img=/uploads/2022/245257.jpg][/img] 经计算得 $x=\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} x_{i}=9.97, s=\sqrt{\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}\left(\sum_{i=1}^{16} x_{i}{ }^{2}-16 \bar{x}^{2}\right)} \approx 0.212$, 其中 $x_{i}$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸, $i=1,2, \ldots, 16$. 用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $\mu$ 的估计值 $\mu$, 用样本标准差 $s$ 作为 $\sigma$ 的估计值 $\sigma$, 利用估 计值判断是否需对当天的生产过程进行检查? 剔除 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 之 外的数据, 用剩下的数据估计 $\mu$ 和 $\sigma$ (精确到 0.01）. 附：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 则 $P(\mu-3 \sigma<Z<\mu+3 \sigma)=0.9974$, $$ 0.9974^{16} \approx 0.9592, \sqrt{0.008} \approx 0.09 $$
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