设随机变量 $\mathrm{X}$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{e^x}{\left(1+e^x\right)^2},-\infty < x < +\infty$, 令 $Y=e^x$.
(I) 求 $\mathrm{X}$ 的分布函数
(II ) 求 $Y$ 的概率密度
(III) $Y$ 的期望是否存在?
【答案】 (1) $F(x)=\int_{-\infty}^x \frac{e^x}{\left(1+e^x\right)^2} d x=-\left.\frac{1}{1+e^x}\right|_{-\infty}=\frac{e^x}{1+e^x}, x \in R$
(II)【法 1】分布函数法
$$
F_Y(y)=P\{Y \leq y\}=P\left\{e^x \leq y\right\} .
$$
当 $y < 0$ 时,$F_y(y)=0$;
当 $y \geq 0$ 时, $F_Y(y)=P\{X \leq \ln y\}=F(\ln y)=\frac{y}{1+y}$;
所以 $Y$ 的概率密度为

$$
f_y(y)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{(1+y)^2}, & y > 0 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array} .\right.
$$
【法 2】公式法
因为 $y=e^x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调且处处可导, 当 $x \in(-\infty,+\infty), y > 0$, 此时 $x=\ln y$, 所以 $Y$ 的概率密度为
$$
f_\gamma(y)=\left\{\begin{array}{cl}
f(\ln y)(\ln y)^{\prime}, & y > 0 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{e^{\ln y}}{\left(1+e^{\ln y}\right)^2} \cdot \frac{1}{y}, & y > 0 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{(1+y)^2}, & y > 0 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right. \text {. }\right.\right.
$$
(III) $E Y=\int_0^{+\infty} \frac{y}{(1+y)^2} d y=\left.\left(\ln (1+y)+\frac{1}{1+y}\right)\right|_0 ^{+\infty}=\infty$, 所以不存在.


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