已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq \frac{1}{x \sqrt{1+x^2}}, x \geq 1\right\}$
( I ) 求 D 的面积 .
(II) 求 $\mathrm{D}$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积.
【答案】 (1) 面积
$$
S=\int_1^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{1+x^2}} d x=\int_{\frac{\pi}{4}}^{x=\tan t} \frac{\frac{\pi}{2}}{\tan t \cdot \sec t} d t=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{scc} t d t=\ln \mid \csc t-\cot t \|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}=\ln (1+\sqrt{2}) .
$$
(2) 旋转体体积为
$$
V_x=\int_1^{+\infty} \pi y^2 d x=\pi \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2\left(1+x^2\right)} d x=\pi \int_1^{+\infty}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right) d x=\left.\pi\left(-\frac{1}{x}-\arctan x\right)\right|_1 ^{+\infty}=\pi\left(1-\frac{\pi}{4}\right) .
$$


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