已知可导函数 $y=y(x)$ 满足 $a e^x+y^2+y-\ln (1+x) \cos y+b=0$, 且 $y(0)=$ $0, y^{\prime}(0)=0$
( I ) 求 $a, b$ 的值.
(II) 判断 $x=0$ 是否为 $y(x)$ 的极值点.
【答案】 (1) 在题设方程两边同时对 $x$ 求导得, $a e^x+2 y \cdot y^{\prime}+y^{\prime}-\frac{\cos y}{1+x}+\ln (1+x) \cdot \sin y \cdot y^{\prime}=0$ (1)
将 $x=0, y=0$ 代入题设方程得, $a+b=0$;
将 $x=0, y=0, y^{\prime}(0)=0$ 代入(1)式得, $a-1=0$
综上: $a=1, b=-1$.
(2) 在等式(1)两边再对 $x$ 求导得,
$$
a e^x+2\left(y^{\prime}\right)^2+2 y \cdot y^{\prime \prime}+y^{\prime \prime}-\frac{-\sin y \cdot y^{\prime} \cdot(1+x)-\cos y}{(1+x)^2}+\left(\ln (1+x) \cdot \sin y \cdot y^{\prime}\right)^{\prime}=0
$$
将 $x=0, y=0, y^{\prime}(0)=0$ 代入(2)式得, $y^{\prime \prime}(0)=-a-1=-2$.
由于 $y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=-2$, 故 $x=0$ 是 $y(x)$ 的极大值点.


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