设随机变量 $\mathrm{X}$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X \sim B(1, p), Y \sim B(2, p), P \in$
$(0,1)$, 则 $X+Y$ 与 $X-Y$ 的相关系数为
【答案】 $-\frac{1}{3}$

【解析】 因为 $X \sim B(1, p)$, 所以 $D X=p(1-p)$.
因为 $Y \sim B(2, p)$, 所以 $D Y=2 p(1-p)$.
$$
\begin{aligned}
& C \operatorname{ov}(X+Y, X-Y)=C \operatorname{ov}(X+Y, X)-C \operatorname{ov}(X+Y, Y) \\
& =C \operatorname{ov}(X, X)+C \operatorname{ov}(Y, X)-C \operatorname{ov}(X, Y)-C \operatorname{ov}(Y, Y)=D X-D Y=p(1-p)-2 p(1-p)=-p(1-p)
\end{aligned}
$$
因为 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 所以
$$
D(X+Y)=D X+D Y=3 p(1-p), D(X-Y)=D X+D Y=3 p(1-p)
$$
故 $\rho=\frac{C \operatorname{ov}(X+Y, X-Y)}{\sqrt{D(X+Y) D(X-Y)}}=-\frac{1}{3}$
系统推荐