设某公司在 $t$ 时刻的资产为 $f(t)$, 从 0 时刻到 $\mathrm{t}$ 时刻的平均资产等 于 $\frac{f(t)}{t}-t$. 假设 $f(t)$ 连续且 $f(0)=0$, 则 $f(t)=$
【答案】 $2 e^t-2 t-2$

【解析】 由题意可得方程 $\frac{\int_0^t f(x) d x}{t}=\frac{f(t)}{t}-t$, 即 $\int_0^t f(x) d x=f(t)-t^2$. 两边同时 $t$ 对求导得
$f(t)=f^{\prime}(t)-2 t$, 即 $f^{\prime}(t)-f(t)=2 t$. 由一阶线性微分方程通解公式有:
$$
\begin{aligned}
f(t)= & e^{\int 1 t}\left(\int 2 t e^{-\int 1 t t} d t+C\right) \\
& =e^t\left(\int 2 t e^{-t} d t+C\right) \\
& =e^t\left[-(2 t+2) e^{-t}+C\right] \\
& =C e^t-2 t-2 .
\end{aligned}
$$
又由于 $f(0)=0$, 则 $C-2=0$, 即 $C=2$. 故 $f(t)=2 e^t-2 t-2$.
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