已知函数 $f(x, y)$ 满足 $d f(x, y)=\frac{x d y-y d x}{x^2+y^2}, f(1,1)=\frac{\pi}{4}$, 则 $f(\sqrt{3}, 3)=$
【答案】 $\frac{\pi}{3}$

【解析】 由题意可得 $f_x^{\prime}(x, y)=\frac{-y}{x^2+y^2}$, 则
$$
f(x, y)=-y \cdot \frac{1}{y} \cdot \arctan \frac{x}{y}+c(y)=-\arctan \frac{x}{y}+c(y) \text {, }
$$
又因为 $f_y^{\prime}(x, y)=\frac{x}{x^2+y^2}$, 可得 $c^{\prime}(y)=c$, 由 $f(1,1)=\frac{\pi}{4}$ 可得 $c=\frac{\pi}{2}$,

即 $f(x, y)=-\arctan \frac{x}{y}+\frac{\pi}{2}$,
故 $f(\sqrt{3}, 3)=\frac{\pi}{3}$.
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