设 $X_1, X_2$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 其中 $\sigma(\sigma>0)$ 是末知 参数, 记 $\sigma=a\left|x_1-x_2\right|$, 若 $E(\sigma)=\sigma$, 则 $a=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2 \pi}}{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{\pi}$
$\text{D.}$ $\sqrt{2 \pi}$