已知向量 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta_1=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 9\end{array}\right), \beta_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$, 若 $\gamma$ 既可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性
表示, 也可由与 $\beta_1, \beta_2$ 线性表示, 则 $\gamma=(\quad)$
$ \text{A.} $ $k\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), k \in R$ $ \text{B.} $ $k\left(\begin{array}{c}3 \\ 5 \\ 10\end{array}\right), k \in R$ $ \text{C.} $ $k\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), k \in R$ $ \text{D.} $ $k\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 8\end{array}\right), k \in R$
【答案】 D

【解析】 设 $r=x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2=y_1 \beta_1+y_2 \beta_2$
则 $x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2-y_1 \beta_1-y_2 \beta_2=0$
$$
\text { 又 }\left(\alpha_1, \alpha_2,-\beta_1,-\beta_2\right)=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & -2 & -1 \\
2 & 1 & -5 & 0 \\
3 & 1 & -9 & -1
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$
故 $\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)^T=c(-3,1,-1,1)^T, c \in R$
所以 $r=-c \beta_1+c \beta_2=c(-1,-5,-8)^T=-c(1,5,8)^T=k(1,5,8)^T, k \in R$
系统推荐