二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_1+x_3\right)^2-4\left(x_2-x_3\right)^2$ 的规范形为
$ \text{A.} $ $y_1^2+y_2^2$ $ \text{B.} $ $y_1^2-y_2^2$ $ \text{C.} $ $y_1^2+y_2^2-4 y_3^2$ $ \text{D.} $ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$
【答案】 B

【解析】 由已知 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2-3 x_2^2-3 x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+8 x_2 x_3$,
则其对应的矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 4 \\ 1 & 4 & -3\end{array}\right)$
由 $|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-2 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda+3 & -4 \\ -1 & -4 & \lambda+3\end{array}\right|=\lambda(\lambda+7)(\lambda-3)=0$, 得 $A$ 的特征值为 $3,-7,0$ 故选(B).
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