求函数 $f(x, y)=x e^{c \alpha x}+\frac{x^2}{2}$ 的极值.
【答案】 $\left\{\begin{array}{l}f_x^{\prime}=e^{\infty x y}+x=0 \\ f_y^{\prime}=x e^{e x y} y(-\sin y)=0\end{array}\right.$, 得驻点为: $\left(-e^{-1}, k \pi\right)$, 其中 $k$ 为奇数; $(-e, k \pi)$, 其中 $k$ 为偶数.
则 $\left\{\begin{array}{l}f_{x x}^{\prime \prime}=1 \\ f_{y y}^{\prime \prime}=e^{\cos y}(-\sin y) \\ f_{y y}^{\prime \prime}=x e^{\operatorname{ses} y} \sin ^2 y+x e^{\cos y}(-\cos y)\end{array}\right.$
代入 $\left(-e^{-1}, k \pi\right)$, 其中 $k$ 为奇数, 得 $\left\{\begin{array}{l}A=f_x^{\prime \prime}=1 \\ B=f_{n y}^{\prime \prime}=0 \\ C=f_{y y}^{\prime \prime}=-e^{-2}\end{array}, A C-B^2 < 0\right.$, 故 $\left(-e^{-1}, k \pi\right)$
不是极值点;
代入 $(-e, k \pi)$, 其中 $k$ 为偶数, 得 $\left\{\begin{array}{l}A=f_{x, z}^{\prime \prime}=1 \\ B=f_{y, n}^{\prime \prime}=0, \\ C=f_{y y}^{\prime \prime}=e^2\end{array} A C-B^2 > 0\right.$ 且 $A > 0$, 故 $(-e, k \pi)$
是极小值点, $f(-e, k \pi)=-\frac{e^2}{2}$ 为极小值.


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