设曲线 L: $y=y(x)(x > e)$ 经过点 $\left(e^2, 0\right), \mathrm{L}$ 上任一点 $P(x, y)$ 到 $\mathrm{y}$ 轴的距 离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距,
(I) 求 $y(x)$.
(II) 在 L上求一点, 使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小, 并求此最小面积.
【答案】 (I) 曲线 $L$ 在点 $P(x, y)$ 处的切线方程为 $Y-y=y^{\prime}(X-x)$, 令 $X=0$, 则切线在 $y$ 轴上的截距为 $Y=y-x y^{\prime}$, 则 $x=y-x y^{\prime}$, 即 $y^{\prime}-\frac{1}{x} y=-1$, 解得 $y(x)=x(C-\ln x)$, 其中 $C$ 为任意常数.
又 $y\left(e^2\right)=0$, 则 $C=2$, 故 $y(x)=x(2-\ln x)$.
(II) 设曲线 $L$ 在点 $(x, x(2-\ln x))$ 处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小, 此时切线方程为
$$
Y-x(2-\ln x)=(1-\ln x)(X-x)
$$

令 $Y=0$, 则 $X=\frac{x}{\ln x-1}$; 令 $X=0$, 则 $Y=x$.
故切线与两坐标轴所围三角形面积为 $S(x)=\frac{1}{2} X Y=\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{\ln x-1} \cdot x=\frac{x^2}{2(\ln x-1)}$,
则 $S^{\prime}(x)=\frac{x(2 \ln x-3)}{2(\ln x-1)^2}$. 令 $S^{\prime}(x)=0$, 得驻点 $x=e^{\frac{3}{2}}$.
当 $e < x < e^{\frac{3}{2}}$ 时, $S^{\prime}(x) < 0$; 当 $x > e^{\frac{3}{2}}$ 时, $S^{\prime}(x) > 0$, 故 $S(x)$ 在 $x=e^{\frac{3}{2}}$ 处取得极小 值, 同时也取最小值, 且最小值为 $S\left(e^{\frac{3}{2}}\right)=e^3$.


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