当 $x \rightarrow 0$ 时,函数 $f(x)=a x+b x^2+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=e^{x^2}-\cos x$ 是等价无穷小, 则 $a b=$
【答案】 $-2$

【解析】 由 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x+b x^2+\ln (1+x)}{e^{x^2}-\cos x}=\frac{a x+b x^2+x-\frac{1}{2} x^2+o\left(x^2\right)}{1+x^2+o\left(x^2\right)-\left[1-\frac{1}{2} x^2+o\left(x^2\right)\right]}=1$ 可得 $a+1=0, b-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, 即 $a=-1, b=2 , a b=-2$.
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