若函数 $f(\alpha)=\int_2^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{\alpha+1}} d x$ 在 $\alpha=\alpha_0$ 处取得最小值, 则 $\alpha_0=(\quad)$
$ \text{A.} $ $-\frac{1}{\ln (\ln 2)}$ $ \text{B.} $ $-\ln (\ln 2)$ $ \text{C.} $ $-\frac{1}{\ln 2}$ $ \text{D.} $ $\ln 2$
【答案】 A

【解析】 当 $\alpha > 0$ 时 $f(\alpha)=\int_2^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{\alpha+1}} d x=-\left.\frac{1}{(\ln x)^\alpha} \cdot \frac{1}{\alpha}\right|_2 ^{+\infty}=\frac{1}{(\ln 2)^\alpha} \cdot \frac{1}{\alpha}$ 所以 $f^{\prime}(\alpha)=-\frac{1}{(\ln 2)^\alpha} \cdot \frac{1}{\alpha^2}-\frac{\ln \ln 2}{(\ln 2)^\alpha} \cdot \frac{1}{\alpha}=-\frac{1}{\alpha} \frac{1}{(\ln 2)^\alpha} \cdot\left(\frac{1}{\alpha}+\ln \ln 2\right)=0$, 即 $\alpha_0=-\frac{1}{\ln \ln 2}$.
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