设函数 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+|t| \\ y=|t| \sin t\end{array}\right.$ 确定, 则
$ \text{A.} $ $f(x)$ 连续, $f^{\prime}(0)$ 不存在 $ \text{B.} $ $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续 $ \text{C.} $ $f^{\prime}(x)$ 连续, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在 $ \text{D.} $ $f^{\prime \prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
【答案】 C

【解析】 【解析】 1)当 $t > 0$ 时, $\left\{\begin{array}{l}x=3 t \\ y=t \sin t\end{array}, \frac{d y}{d x}=\frac{\sin t+t \cos t}{3}\right.$;
当 $t < 0$ 时, $\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=-t \sin t\end{array}, \frac{d y}{d x}=\frac{-\sin t-t \cos t}{1}\right.$;
当 $t=0$ 时, 因为 $f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{t \sin t}{3 t}=0$;
$$
f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{t \rightarrow 0^{-}} \frac{-t \sin t}{t}=0,
$$
所以 $f^{\prime}(0)=0$.
2) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin t+t \cos t}{3}=0=f^{\prime}(0) ; \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{t \rightarrow 0^{-}} \frac{-\sin t-t \cos t}{3}=0=f^{\prime}(0)$;
所以 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0)=0$, 即 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 连续.
3)当 $t=0$ 时, 因为 $f^{\prime \prime}{ }_{+}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}(0)}{x}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin t+t \cos t}{3 \cdot 3 t}=\frac{2}{9}$;
$$
f^{\prime \prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}(0)}{x}=\lim _{t \rightarrow 0^{-}} \frac{-\sin t-t \cos t}{t}=-2
$$
所以 $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在.
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