已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界, 则 $a, b$ 的取值范围 为
$ \text{A.} $ $a < 0, b > 0$ $ \text{B.} $ $a > 0, b > 0$ $ \text{C.} $ $a=0, b > 0$ $ \text{D.} $ $a=0, b < 0$
【答案】 C

【解析】 微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的特征方程为 $\lambda^2+a \lambda+b=0$,
当 $\Delta=a^2-4 b > 0$ 时, 特征方程有两个不同的实根 $\lambda_1, \lambda_2$, 则 $\lambda_1, \lambda_2$ 至少有一个 不等于零,
若 $C_1, C_2$ 都不为零, 则微分方程的解 $y=C_1 e^{-2 x_1}+C_2 e^{-l_2 x}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 无界;
当 $\Delta=a^2-4 b=0$ 时, 特征方程有两个相同的实根, $\lambda_{1,2}=-\frac{a}{2}$,
若 $C_2 \neq 0$, 则微分方程的解 $y=C_1 e^{-\frac{a}{2} x}+C_2 x e^{\frac{4}{2}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 无界;
当 $\Delta=a^2-4 b < 0$ 时, 特征方程的根为 $\lambda_{1,2}=-\frac{a}{2} \pm \frac{\sqrt{4 b-a^2}}{2} i$,
则通解为 $y=e^{-\frac{a^2}{2^2}}\left(C_1 \cos \frac{\sqrt{4 b-a^2}}{2} x+C_2 \sin \frac{\sqrt{4 b-a^2}}{2} x\right)$,
此时, 要使微分方程的解在 $(-\infty,+\infty)$ 有界, 则 $a=0$, 再由 $\Delta=a^2-4 b < 0$,
知 $b > 0$.
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