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设数列 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ 满足 $x_1=y_1=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\sin x_n, y_{n+1}=y_n^2$, 当 $n \rightarrow \infty$ 时
$ \text{A.} $ $x_n$ 是 $y_n$ 的高阶无穷小 $ \text{B.} $ $y_n$ 是 $x_n$ 的高阶无穷小 $ \text{C.} $ $x_n$ 是 $y_n$ 的等价无穷小 $ \text{D.} $ $x_n$ 是 $y_n$ 的同阶但非等价无穷小
【答案】 B

【解析】 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 中, $\frac{2}{\pi} x < \sin x$
故 $x_{n+1}=\sin x_n > \frac{2}{\pi} x_n$
$y_{n+1}=\frac{1}{2} y_n$
$\Rightarrow \frac{y_{n+1}}{x_{n+1}} < \frac{1}{2} \cdot \frac{y_n}{\pi}=\frac{\pi}{x_n} \cdot \frac{y_n}{x_n}=\cdots=\left(\frac{\pi}{4}\right)^n \frac{y_1}{x_1}=\left(\frac{\pi}{4}\right)^n$
$\Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{y_n}{x_n}=0$. 故 $y_n$ 是 $x_n$ 的高阶无穷小.
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