函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x, x > 0\end{array}\right.$ 的原函数为
$ \text{A.} $ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right), x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x > 0\end{array}\right.$ $ \text{B.} $ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x > 0\end{array}\right.$ $ \text{C.} $ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right), x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x > 0\end{array}\right.$ $ \text{D.} $ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x > 0\end{array}\right.$
【答案】 D

【解析】 当 $x \leq 0$ 时,
$$
\int f(x) d x=\int \frac{d x}{\sqrt{1+x^2}}=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+C_1
$$
当 $x > 0$ 时,
$$
\begin{aligned}
& \int f(x) d x=\int(x+1) \cos x d x=\int(x+1) d \sin x=(x+1) \sin x-\int \sin x d x \\
& =(x+1) \sin x+\cos x+C_2
\end{aligned}
$$
原函数在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 则在 $x=0$ 处
$$
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+C_1=C_1, \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(x+1) \sin x+\cos x+C_2=1+C_2
$$
所以 $C_1=1+C_2$, 令 $C_2=C$, 则 $C_1=1+C$, 故
$$
\int f(x) d x=\left\{\begin{array}{l}
\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+1+C, x \leq 0 \\
(x+1) \sin x+\cos x+C, x > 0
\end{array},\right.
$$
结合选项, 令 $C=0$, 则 $f(x)$ 的一个原函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x > 0\end{array}\right.$.
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