设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{2}{\pi}\left(x^2+y^2\right), x^2+y^2 \leq 1 \\ 0 & \text {, 其它 }\end{cases}
$$
(I) 求 $X$ 与 $Y$ 的方差;
(II) 求 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立;
(IIi) 求 $Z=X^2+Y^2$ 的概率密度.
【答案】
(I) $E(X)=\iint_D x \frac{2}{\pi}\left(x^2+y^2\right) d \sigma=0$;
$$
\begin{aligned}
E\left(X^2\right) & =\iint_D x^2 \frac{2}{\pi}\left(x^2+y^2\right) d \sigma=4 \iint_{D_1} x^2 \frac{2}{\pi}\left(x^2+y^2\right) d \sigma \\
& =\frac{4}{\pi} \iint_{L_1}\left(x^2+y^2\right)^2 d \sigma \\
& =\frac{4}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^1 r^5 d r=\frac{1}{3} .
\end{aligned}
$$
所以 $D(X)=\frac{1}{3}$.
同理, 得 $D(Y)=\frac{1}{3}$.

(II) $f_X(x)=\left\{\begin{array}{cc}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{2}{\pi}\left(x^2+y^2\right) d y, & -1 < x < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$
$$
=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{4}{3 \pi}\left(1+2 x^2\right) \sqrt{1-x^2}, & -1 < x < 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
同理, 得: $f_y(y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{4}{3 \pi}\left(1+2 y^2\right) \sqrt{1-y^2}, & -1 < y < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$.
因为, $f_X(x) f_Y(y) \neq f(x, y)$, 所以 $X$ 与 $Y$ 不相互独立.
(III) $F_Z(z)=P\{Z \leq z\}=P\left\{X^2+Y^2 \leq z\right\}$
当 $z < 0$ 时, $F_z(z)=0$;
当 $0 \leq z < 1$ 时, $F_z(z)=\iint_{D_z} \frac{2}{\pi}\left(x^2+y^2\right) d \sigma=\frac{2}{\pi} \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^{\sqrt{z}} r^3 d r=z^2$;
当 $z \geq 1$ 时, $F_Z(z)=1$;
所以, $Z$ 的概率密度为 $f_Z(z)=\left\{\begin{array}{cc}2 z, & 0 < z < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$.


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