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设空间有界区域 $\Omega$ 中, 柱面 $x^2+y^2=1$ 与平面 $z=0$ 和 $x+z=1$ 围成, $\Sigma$ 为 $\Omega$ 边界的外侧, 计算曲面积分
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I=\oint_{\Sigma} 2 x z d y d z+x z \cos y d z d y+3 y z \sin x d x d y .
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【答案】 由高斯公式可得:
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\begin{aligned}
& =\iiint_{\Omega}(2 z-x z \sin y+3 y \sin x) d V \\
& =\iiint_{\Omega} 2 z d V=\iint_{D_{x y}} d x d y \int_0^{1-x} 2 z d z=\iint_{D_{x y}}(1-x)^2 d x d y \quad\left(D_{x y} ; x^2+y^2 \leq 1\right) \\
& =\iint_{D_{y y}}\left(1-2 x+x^2\right) d x d y=\pi+\frac{1}{2} \iint_{D_{y y}}\left(x^2+y^2\right) d x d y \\
& =\pi+\frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^1 r^3 d r=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5 \pi}{4} .
\end{aligned}
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