设曲线 $y=y(x)(x > 0)$ 经过点 $(1,2)$, 该曲线上任一点 $P(x, y)$ 到 $y$ 轴的距 离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距.
(I) 求 $y(x)$;
(II) 求函数 $f(x)=\int_1^x y(t) d t$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最大值.
【答案】 (I) 设点 $(x, y)$ 处的切线方程为 $Y-y=y^{\prime}(X-x)$, 故 $y$ 轴的截距为 $y-y^{\prime} x$, 则 $x=y-y^{\prime} x$,
解得 $y=x(C-\ln x)$, 其中 $C$ 为任意常数.
由 $y(1)=C=2$, 故 $y(x)=x(2-\ln x)$.
(II) 由(I) 知 $f(x)=\int_1^x t(2-\ln t) d t$, 故 $f^{\prime}(x)=x(2-\ln x)=0$, 则驻点为 $x=e^2$.
当 $0 < x < e^2$ 时, $f^{\prime}(x) > 0$; 当 $x > e^2$ 时, $f^{\prime}(x) < 0$, 故 $f(x)$ 在 $x=e^2$ 处取得极大值,
同时也取得最大值, 且最大值为 $f\left(e^2\right)=\int_1^{e^2} x(2-\ln x) d x=\frac{1}{4} e^4-\frac{5}{4}$.


系统推荐