设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X \sim B\left(1, \frac{1}{3}\right), Y \sim B\left(2, \frac{1}{2}\right)$ 则 $P\{X=Y\}=$
【答案】 $\frac{1}{3}$

【解析】 因为 $X \sim B\left(1, \frac{1}{3}\right)$, 所以 $X=0,1$ ;
$Y \sim B\left(2, \frac{1}{2}\right)$, 所以 $Y=0,1,2$.
又因为 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 所以
$$
\begin{aligned}
& P\{X=Y\}=P\{X=0, Y=0\}+P\{X=1, Y=1\} \\
&=P\{X=0\} P\{Y=0\}+P\{X=1\} P\{Y=1\} \\
&=\frac{2}{3} C_2^0\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{3} C_2^1\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{3} .
\end{aligned}
$$
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