已知向量 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}-1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \gamma=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_3$,
若 $\gamma^T \alpha_i=\beta^T \alpha_i(i=1,2,3)$, 则 $k_1^2+k_2^2+k_3^2=$
【答案】 $\frac{11}{9}$

【解析】 $\gamma^T \alpha_1=\beta^T \alpha_1=1 \Rightarrow k_1 \alpha_1^T \alpha_1+k_2 \alpha_2^T \alpha_1+k_3 \alpha_3^T \alpha_1=1 \Rightarrow k_1 \cdot 3+k_2 \cdot 0+k_3 \cdot 0=1 \Rightarrow k_1=\frac{1}{3}$.
同理 $k_2=-1, k_3=-\frac{1}{3}$.
所以, $k_1{ }^2+k_2{ }^2+k_3{ }^2=\frac{11}{9}$.
系统推荐