设 $f(x)$ 为周期为 2 的周期函数, 且 $f(x)=1-x, x \in[0,1]$, 若 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \pi x$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n}=$
【答案】 0

【解析】 由 $f(x)$ 展开为余弦级数知, $f(x)$ 为偶函数. 由傅里叶系数计算
公式有
$$
\begin{aligned}
a_n= & 2 \int_0^1(1-x) \cos n \pi x d x \\
& =2\left(\int_0^1 \cos n \pi x d x-\int_0^1 x \cos n \pi x d x\right) \\
& =2\left(\left.\frac{1}{n \pi} \sin n \pi x\right|_0 ^1-\frac{1}{n \pi} \int_0^1 x d \sin n \pi x\right) \\
& =-\frac{2}{n \pi} \int_0^1 x d \sin n \pi x \\
& =\frac{-2}{n \pi}\left(\left.x \sin n \pi x\right|_0 ^1-\int_0^1 \sin n \pi x d x\right) \\
& =\frac{2}{n \pi} \int_0^1 \sin n \pi x d x \\
& =\left.\frac{-2}{n^2 \pi^2} \cos n \pi x\right|_0 ^1 \\
& =\frac{-2}{n^2 \pi^2}(\cos n \pi-1) . \\
\text { 故 } a_{2 n}= & \frac{-1}{2 n^2 \pi^2}(\cos 2 n \pi-1)=\frac{-1}{2 n^2 \pi^2}(1-1)=0 .
\end{aligned}
$$
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