设 $X_1, X_2$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 其中 $\sigma(\sigma > 0)$ 是末知参 数. 若 $\hat{\sigma}=a\left|X_1-X_2\right|$ 为 $\sigma$ 的无偏估计, 则 $a=(\quad)$
$ \text{A.} $ $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $ \text{B.} $ $\frac{\sqrt{2 \pi}}{2}$ $ \text{C.} $ $\sqrt{\pi}$ $ \text{D.} $ $\sqrt{2 \pi}$
【答案】 A

【解析】 由题可知 $X_1-X_2 \sim N\left(0,2 \sigma^2\right)$.
令 $Y=X_1-X_2$, 则 $Y$ 的概率密度为 $f(y)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sqrt{2} \sigma} e^{-\frac{y^2}{22 \sigma^2}}$.

$$
\begin{aligned}
& E(|Y|)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y| \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sqrt{2} \sigma} e^{-\frac{y^2}{2 \cdot \sigma^2}} d y=\frac{2}{\sqrt{2 \pi} \sqrt{2} \sigma} \int_0^{+\infty} y e^{-\frac{y^2}{4 \sigma^2}} d y=\frac{2 \sigma}{\sqrt{\pi}}, \\
& E\left(a\left|X_1-X_2\right|\right)=a E(|Y|)=a \frac{2 \sigma}{\sqrt{\pi}} .
\end{aligned}
$$
由 $\left.\hat{\sigma}=a\left|X_1-X_2\right|\right)$ 为 $\sigma$ 的无偏估计, 有 $E(\hat{\sigma})=\sigma$, 得 $a=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$. 故选 $(\mathrm{A})$.
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