设 $X_1, X_2$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 其中 $\sigma(\sigma>0)$ 是末知参 数. 若 $\hat{\sigma}=a\left|X_1-X_2\right|$ 为 $\sigma$ 的无偏估计, 则 $a=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2 \pi}}{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{\pi}$
$\text{D.}$ $\sqrt{2 \pi}$