设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的泊松分布, 则 $E(|X-E X|)= $
$ \text{A.} $ $\frac{1}{e}$ $ \text{B.} $ $\frac{1}{2}$ $ \text{C.} $ $\frac{2}{e}$ $ \text{D.} $ $1$
【答案】 C

【解析】 由题可知 $E(X)=1$, 所以 $|X-E X|=\left\{\begin{array}{cc}1, & X=0 \\ X-1, & X=1,2, \cdots\end{array}\right.$,
故 $E(|X-E X|)=1 \cdot P\{X=0\}+\sum_{k=1}^{\infty}(k-1) P\{X=k\}$
$$
\begin{aligned}
& =\frac{1}{e}+\sum_{k=0}^{\infty}(k-1) P\{X=k\}-(0-1) P\{X=0\} \\
& =\frac{1}{e}+E(X-1)-(0-1) \frac{1}{e}=\frac{2}{e},
\end{aligned}
$$
故选(C).
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