设函数$y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+|t| \\ y=|t| \sin t\end{array}\right.$ 确定, 则
$ \text{A.} $ $f(x)$ 连续, 但 $f^{\prime}(0)$ 不存在 $ \text{B.} $ $f^{\prime}(0)$ 存在, 但 $f^{\prime}(x)$ 不连续 $ \text{C.} $ $f^{\prime}(x)$ 连续, 但 $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在 $ \text{D.} $ $f^{\prime \prime}(0)$ 存在, 但 $f^{\prime \prime}(x)$ 不连续
【答案】 C

【解析】 $t \geq 0$ 时, $\left\{\begin{array}{l}x=3 t \\ y=t \sin t\end{array}\right.$, 得 $y=\frac{x}{3} \sin \frac{x}{3} ; t < 0$ 时, $\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=-t \sin t\end{array}\right.$, 得 $y=-x \sin x$;

综上, $y=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3} \sin \frac{x}{3}, x \geq 0 \\ -x \sin x, x < 0\end{array}\right.$,

从而由 $y_+^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{x}{3} \sin \frac{x}{3}-0}{x}=0, y_{-}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x \sin x-0}{x}=0$, 得 $y^{\prime}(0)=0$

于是 $y^{\prime}=\left\{\begin{array}{r}\frac{1}{3} \sin \frac{x}{3}+\frac{x}{9} \cos \frac{x}{3}, x > 0 \\ 0, x=0, \\ -\sin x-x \cos x, x < 0\end{array}\right.$
得 $y^{\prime}$ 连续;


又由 $y_{+}''(0)=\lim _{x \rightarrow \infty^{+}} \frac{\frac{1}{3} \sin \frac{x}{3}+\frac{x}{9} \cos \frac{x}{3}-0}{x}=\frac{2}{9}, y_{-}^{\prime \prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-\sin x-x \cos x-0}{x}=-2$, 得 $y''(0)$ 不存在.

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