曲线 $y=x \ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)$ 的渐近线方程为
$ \text{A.} $ $y=x+e$ $ \text{B.} $ $y=x+\frac{1}{e}$ $ \text{C.} $ $y=x$ $ \text{D.} $ $y=x-\frac{1}{e}$
【答案】 B

【解析】 $k=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{y}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x \ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)=1$,
$$
\begin{aligned}
b & =\lim _{x \rightarrow \infty}(y-k x)=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[x \ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)-x\right]=\lim _{x \rightarrow \infty} x\left[\ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)-1\right] \\
& =\lim _{x \rightarrow \infty} x \ln \left[1+\frac{1}{e(x-1)}\right]=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{e(x-1)}=\frac{1}{e}
\end{aligned}
$$
所以斜渐近线方程为 $y=x+\frac{1}{e}$.
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