已知点 $P\left(\frac{2}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3}\right)$ 是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 与抛物线 $E: y^2=2 p x(p > 0)$ 的一个公 共点, 且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点 $F$. 过点 $Q(4,0)$ 且不垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与椭圆相交 于 $A, B$ 两点.
(1) 求楉圆 $C$ 及抛物线 $E$ 的方程;
(2) 若点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $H$, 证明: 直线 $A H$ 与 $x$ 轴交于定点.
【答案】 20. (1) $\because P\left(\frac{2}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3}\right)$ 是抛物线 $E: y^2=$ $2 p x(p > 0)$ 上一点,
$\therefore p=2$, 即抛物线 $E$ 的方程为 $y^2=4 x$, 焦 点 $F(1,0)$,
$$
\therefore a^2-b^2=1 \text {, }
$$
又 $\because P\left(\frac{2}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3}\right)$ 在椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上,
$$
\therefore \frac{4}{9 a^2}+\frac{8}{3 b^2}=1 \text {, }
$$
结合 $a^2-b^2=1$ 知 $b^2=3, a^2=4$,

$\therefore$ 椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$, 抛物 线 $E$ 的 方程为 $y^2=4 x$.
5 分
(2) 设直线 $l: y=k(x-4)(k \neq 0)$, 点 $A\left(x_1\right.$, $\left.y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 则点 $H\left(x_2,-y_2\right)$.
由 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x-4) \\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$, 得 $\left(4 k^2+3\right) x^2-32 k^2 x+$ $64 k^2-12=0$,
7 分 $\Delta=\left(32 k^2\right)^2-4\left(4 k^2+3\right)\left(64 k^2-12\right) > 0$, 解得 $-\frac{1}{2} < k < \frac{1}{2}$,
从而 $x_1+x_2=\frac{32 k^2}{4 k^2+3}, x_1 x_2=\frac{64 k^2-12}{4 k^2+3}$,


直线 $A H$ 的方程为 $y-y_1=\frac{y_1+y_2}{x_1-x_2}(x-$ $\left.x_1\right)$, 令 $y=0$ 得 $x=\frac{x_1 y_2+x_2 y_1}{y_1+y_2}$,
$$
\text { 又 } \because y_1=k\left(x_1-4\right), y_2=k\left(x_2-4\right), \cdots
$$
则 $x=\frac{k x_1\left(x_2-4\right)+k x_2\left(x_1-4\right)}{k\left(x_1-4\right)+k\left(x_2-4\right)}=$

$$
\frac{2 x_1 x_2-4\left(x_1+x_2\right)}{\left(x_1+x_2\right)-8}
$$
即 $x=\frac{2 \cdot \dfrac{64 k^2-12}{4 k^2+3}-4 \cdot \dfrac{32 k^2}{4 k^2+3}}{\dfrac{32 k^2}{4 k^2+3}-8}=1$,
11 分
故直线 $A H$ 与 $x$ 轴交于定点 $(1,0) . \cdots 12$ 分


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