如右图所示, 在四棱锥 $P-A B C D$ 中, 平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D, A B / / D C, \triangle P A D$ 是等边三角 形, 已知 $B D=2 A D=8, A B=2 D C=4 \sqrt{5}, M$ 是 $P C$ 的中点.
(1) 证明: 平面 $M B D \perp$ 平面 $P A D$;
(2) 求四棱雉 $M-A B C D$ 的体积.
【答案】 (1) 证明: 在 $\triangle A B D$ 中, 由于 $A D=4$, $B D=8, A B=4 \sqrt{5}$,
所以 $A D^2+B D^2=A B^2$. 故 $A D \perp B D$.
又平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D$, 平面 $P A D \cap$ 平面 $A B C D=A D, B D \subset$ 平面 $A B C D$,
所以 $B D \perp$ 平面 $P A D$,
5 分
又 $B D \subset$ 平面 $M B D$,
故平面 $M B D \perp$ 平面 $P A D . \cdots \cdots \cdots \cdots 6$ 分
(2) 过 $P$ 作 $P O \perp A D$ 交 $A D$ 于 $O$, 由于平面 $R A D \perp$ 平面 $A B C D$,


同理可证 $P O \perp$ 平面 $A B C D$. 7 分 因此 $P O$ 为四棱雉 $P-A B C D$ 的高,
又 $\triangle P A D$ 是边长为 4 的等边三角形. 因此 $\mathrm{PO}=\frac{\sqrt{3}}{2} \times 4=2 \sqrt{3}$. 8 分
在底面四边形 $A B C D$ 中, $A B / / D C, A B=$ $2 D C$
所以四边形 $A B C D$ 是梯形, 在 Rt $\triangle A D B$ 中, 斜边 $A B$ 边上的高为 $\frac{4 \times 8}{4 \sqrt{5}}=\frac{8 \sqrt{5}}{5}$,
此即为梯形 $A B C D$ 的高, 所以四边形 $A B C D$ 的面积为 $S=\frac{2 \sqrt{5}+4 \sqrt{5}}{2} \times \frac{8 \sqrt{5}}{5}=24$.


故 $V_{M-A B C D}=\frac{1}{2} V_{P-A B C D}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 24 \times$ $2 \sqrt{3}=8 \sqrt{3}$.


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