某大型房地产公司对该公司 140 名一线销售员工每月进行一次目标考核, 对该月内签单总数达 到 10 单及以上的员工投予该月 “金牌销售” 称号, 其余员工称为“普通销售”, 下表是该房地产公 司 140 名员工 2022 年 1 月至 5 月获得“金牌销售” 称号的统计数据:

(1) 由表中看出, 可用线性回归模型拟合“金牌销售” 员丁数 $y$ 与月份 $x$ 之间的关系, 求 $y$ 关于 $x$ 的 回归直线方程 $y=b x+a $, 并预测该房地产公司 6 月份犾得 “金牌销售” 称号的员工人数;
(2) 为了进一步了解员工们的销售情况, 选取了员工们在 3 月份的销售数据进行分析, 统计结果如下:

请补充上表中的数据 (直接写出 $m, n$ 的值), 并根据上表判断是否有 $95 \%$ 的把握认为获得“金牌 销售” 称号与性别有关?
参考数据
$$
\begin{aligned}
K^2=
& \frac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\
& (\text { 其中 } n=a+b+c+d) .
\end{aligned}
$$
【答案】 解: (1) $\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3, \bar{y}=$ $\frac{120+105+100+95+80}{5}=100 \quad \cdots \cdots \cdots 2$ 分
$$
\sum_{i=1}^5 x_i y_i=1 \times 120+2 \times 105+3 \times 100+4
$$

$$
\begin{aligned}
& \times 95+5 \times 80=1410 \\
& \sum_{i=1}^5 x_i^2=1+4+9+16+25=55, \quad \cdots \cdots \\
& 3 \text { 分 } \\
& \therefore \hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^5 x_i y_i-5 \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i=1}^5 x_i^2-5{ }^{-2}}=\frac{1410-1500}{55-45}=-9 \text {, } \\
&
\end{aligned}
$$
由 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 过 $(3,100)$, 故 $\hat{a}=100+27=$
$$
127, \therefore \hat{y}=-9 x+127, \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots 5 \text { 分 }
$$
$\therefore 6$ 月份获得“金牌销售” 称号的有 $-9 \times 6+$

$$
\begin{aligned}
& \text { (2) } m=60 n=20 \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \times \text { 分 } \\
& K^2=\frac{140 \times(1200-800)^2}{80 \times 60 \times 100 \times 40} \approx 1.167 < 3 .
\end{aligned}
$$
841,
10 分
$\therefore$ 没有 $95 \%$ 的把握认为获得 “金牌销售” 称 号与性别有关.
12 分


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