已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项互异, 且 $a_n > 0, \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=2\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$, 则 $\dfrac{a_1-a_n}{a_1 a_2+a_2 a_3+\cdots+a_{n-1} a_n}$ $=$
【答案】 2

【解析】 由题意, 得 $\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=2$, 则 $a_{n-1}-a_n$ $=2 a_{n-1} a_n\left(n \geqslant 2, n \in \mathbf{N}^*\right)$,
即 $a_{n-1} a_n=\frac{a_{n-1}-a_n}{2}$,

$$
\begin{aligned}
& \text { 所以 } \frac{a_1-a_n}{a_1 a_2+a_2 a_3+\cdots+a_{n-1} a_n} \\
& =\frac{a_1-a_n}{\frac{a_1-a_2}{2}+\frac{a_2-a_3}{2}+\cdots+\frac{a_{n-1}-a_n}{2}} \\
& =2 \cdot \frac{a_1-a_n}{a_1-a_n}=2
\end{aligned}
$$
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