已知事件 $A, B, C$ 满足 $A, B$ 是互斥事件，且 $P((A \cup B) \mid C)=\frac{1}{2}, P(B C)=\frac{1}{12}$ ， $P(C)=\frac{1}{4}$ ，则 $P(A \mid C)$ 的值等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{12}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$