已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p > 0)$ 的准线与 $x$ 轴的交点为 $H$, 直线过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 且
与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $\triangle H A B$ 的面积的最小值为 4 .
(1) 求抛物线 $C$ 的方程;
(2) 若过点 $Q\left(\frac{17}{4}, 1\right)$ 的动直线 $l$ 交 $C$ 于 $M, N$ 两点, 试问抛物线 $C$ 上是否存在定点 $E$, 使得 对任意的直线 $l$, 都有 $E M \perp E N$, 若存在, 求出点 $E$ 的坐标; 若不存在, 则说明理由.
【答案】 【解析】(1) 由题意, $A B$ 斜率不为零, 设 $A B: x=\lambda y$ $+\frac{p}{2}$ 代人 $y^2=2 p x(p > 0), \therefore y^2-2 p \lambda y-p^2=0$, 设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 则 $y_1+y_2=$ $2 p \lambda, y_1 y_2=-p^2$,
$$
\therefore S_{\triangle H A B}=\frac{1}{2} \cdot p\left|y_1-y_2\right|
$$


$$
\begin{aligned}
& =\frac{1}{2} \cdot p \cdot \sqrt{\left(y_1+y_2\right)^2-4 y_1 y_2} \\
& =\frac{1}{2} p \cdot \sqrt{4 p^2 \lambda^2+4 p^2}=p^2 \sqrt{\lambda^2+1},
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 当 $\lambda=0$ 时, $S_{\triangle H A B}$ 取最小值 $p^2, \therefore p^2=4, \therefore p$ $=2$, 抛物线 $C$ 的方程为: $y^2=4 x$. $\cdots \cdots \cdots 5$ 分 (2)假设存在 $E\left(x_0, y_0\right)$, 设 $M\left(x_3, y_3\right)$, $N\left(x_4, y_4\right)$, 由题意, $M N$ 斜率不为零, 设 $M N$ 的方程为 $x=t(y-1)+\frac{17}{4}$ 代人 $y^2=4 x$, 可得 $y^2-4 t y+4 t-17=0, \therefore\left\{\begin{array}{l}y_3+y_4=4 t, \\ y_3 \cdot y_4=4 t-17,\end{array}\right.$
$$
\begin{aligned}
& \therefore \frac{y_0-y_3}{x_0-x_3} \cdot \frac{y_0-y_4}{x_0-x_4}=-1, \\
& \therefore \frac{4}{\left(y_0+y_3\right)} \cdot \frac{4}{\left(y_0+y_4\right)}=-1, \\
& \therefore y_0^2+\left(y_3+y_4\right) y_0+y_3 y_4+16=0, \\
& \therefore y_0^2+4 t y_0+4 t-1=0,
\end{aligned}
$$
即 $4 t\left(y_0+1\right)+y_0^2-1=0, \therefore\left\{\begin{array}{l}y_0+1=0, \\ y_0^2-1=0,\end{array}\right.$
解得 $y_0=-1$, 故存在定点 $E\left(\frac{1}{4},-1\right)$ 满足题 意. $\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots+12$ 分


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